✎☛ Déterminer une équation cartésienne à l'aide d'un déterminant

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Méthode en utilisant le déterminant

Soit \(\text A (x_{\text A}; y_{\text A})\) un point et \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\\ \end{pmatrix}\) un vecteur non nul.

On considère la droite \(d\) passant par le point \(\text A\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\).

Dire qu'un point \(\text M (x;y)\) appartient à la droite \(d\) revient à dire que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AM}}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires, c'est-à-dire que \(\text{det}\left(\overrightarrow{\text{AM}} ; \overrightarrow{u} \right) = 0\).

Énoncé

Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite \(d\) passant par le point \(\text A (2;3)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix}\). Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\).

Solution
Un point \(\text M (x;y)\) appartient à la droite \(d\) si et seulement si \(\text{det}\left(\overrightarrow{\text{AM}} ; \overrightarrow{u} \right) = 0\).
Ainsi, on a \(\left\lvert \begin{array}{cc} x-x_{\text{A}} & 4\\ y-y_{\text{A}} & -5\\ \end{array} \right\rvert = 0\) soit \(\left\lvert \begin{array}{cc} x-2 & 4\\ y-3 & -5\\ \end{array} \right\rvert = 0\) 
ce qui équivaut à \(\left(x-2\right) \times (-5) - \left(y - 3\right) \times 4 = 0\).
En développant, on obtient l'équation \(-5x-4y+22=0\).
Donc une équation cartésienne de la droite \(d\) est \(-5x-4y+22=0\).